Exakte Geometrie
y = L · tan(δ)
Die Beziehung folgt direkt aus einem rechtwinkligen Dreieck. Sie benötigt keine Annahme über Geschwindigkeit, Kräfte oder Manövrierfähigkeit.
Small-angle geometry
Kleine Winkel,
große Abweichung
Ein kleiner Richtungsunterschied kann geometrisch unscheinbar wirken. Über eine große Vorwärtsdistanz wird daraus jedoch eine deutlich größere Querabweichung. K03 trennt dabei zwei Aussagen sauber: die exakte Tangensgeometrie und die Small-angle-Näherung in Radiant.
2Dgeradlinige Strahlenkonstantes δlokale kartesische Ebenekeine Dynamik
Lernziel
Winkel in eine räumliche Abweichung übersetzen.
Für eine konstante Richtungsdifferenz δ und eine vorgegebene Downrange-Distanz L gilt exakt y=L·tan(δ). Für kleine Winkel ist tan(δ)≈δ, sofern δ in Radiant eingesetzt wird. Damit entsteht die einfache Skalierung y≈L·δ: kleine Winkel bleiben klein, aber die Multiplikation mit einer großen Distanz macht ihren räumlichen Effekt groß.
Small-angle
tan(δ) ≈ δ
Die Linearisierung gilt um δ=0. Der Winkel muss dafür in Radiant verwendet werden; Gradwerte dürfen nicht direkt eingesetzt werden.
Distanzverstärkung
y ≈ L · δ
Bei hinreichend kleinem Winkel skaliert die Querabweichung nahezu proportional sowohl mit L als auch mit δ.
K02 → K03
Von Winkeländerung zu räumlicher Konsequenz.
K02Δψ = ωt→K03δ → y(L)
K02 zeigte, wie eine Richtungsänderung kinematisch entstehen kann. K03 isoliert davon nur die nachgelagerte Geometrie: Wenn zwei Richtungen bereits um δ differieren, wie weit liegen ihre Geraden nach einer Downrange-Distanz L auseinander? Die Kreisbogendynamik aus K02 wird hier bewusst nicht fortgeschrieben.
Interactive lab
Exakte Tangensgeometrie gegen lineare Näherung
Variiere Richtungsdifferenz und Downrange-Distanz. Das obere Diagramm zeigt die resultierende Querabweichung; die x- und y-Achse werden unabhängig skaliert und sind daher nicht winkelgetreu. Das untere Diagramm zeigt separat den relativen Fehler der Small-angle-Näherung.
δ=0 referenceexact tan(δ)linear δexact endpoint
Interpretation
Kleine Winkel werden durch große Distanzen räumlich sichtbar.
Die lineare Näherung bleibt im Small-angle-Bereich sehr genau; die große Querabweichung entsteht primär durch den Faktor L.
Systemische Konsequenz
Große räumliche Wirkung benötigt keine große Winkelabweichung.
Einheiten sind entscheidend
Die Näherung tan δ≈δ ist dimensionslos und verwendet δ in Radiant. Ein Gradwert direkt in L·δ würde die Geometrie um den Faktor 180/π verfälschen.
Linearer Distanzhebel
Im Small-angle-Bereich wächst |y| näherungsweise linear mit L. Die Größenordnung der Querabweichung kann daher stark wachsen, obwohl sich der Winkel selbst nicht ändert.
Nächster Schritt
K04 ergänzt als nächste Schicht einen Terminal Constraint: Nicht jede geometrisch mögliche Endlage erfüllt zugleich die dort definierten Endbedingungen.
δ+L→y=L·tanδ≈L·δ