Zustandsübergang
z(s) = F(s) z₀, F(s)=[[1,s],[0,1]]
Eine vorhandene Richtungsabweichung akkumuliert laterale Abweichung. Es wird keine Steuerung berechnet und keine reale Flugbahn simuliert.
State covariance propagation
Trajectory
Uncertainty
K05 machte den Referenzpunkt unsicher und ließ den terminalen Zustand scharf. K06 kehrt diese Zuordnung um: Der Referenzzustand bleibt fest, während ein abstrakter normalisierter Trajektorienzustand als Zufallsvariable propagiert wird. Mittelwert und Kovarianz entwickeln sich dabei getrennt.
dimensionsloslinear state modelGaussian covariancekeine reale Fahrzeugdynamik
Lernziel
Unsicherheit wird als Zustand mitpropagiert.
Wir verwenden den zweikomponentigen Lehrzustand z=[y, ψ]ᵀ: eine normalisierte laterale Abweichung y und eine normalisierte Richtungsabweichung ψ. Entlang einer dimensionslosen Fortschrittskoordinate s gilt dy/ds=ψ und dψ/ds=0. Das ist bewusst nur ein lineares Geometriemodell.
Mittelwert & Kovarianz
m(s)=F(s)m₀ · P(s)=F(s)P₀F(s)ᵀ
Der Mittelwert beschreibt den erwarteten Zustand. Die Kovarianz beschreibt dessen Streuung und Kopplung. Beide folgen derselben linearen Abbildung, aber mit unterschiedlichen Transformationsregeln.
Terminale Überlappung
Pset = P(|Yf|≤κ ∧ |Ψf|≤κ)
Am Ende wird die resultierende zweidimensionale Normalverteilung gegen das gleiche abstrakte quadratische Akzeptanzset geprüft. Wegen der propagierten Korrelation ist die Wahrscheinlichkeit nicht allgemein ein Produkt zweier Randwahrscheinlichkeiten.
K05 → K06
Die relative Geometrie bleibt, die Zufallsquelle wechselt.
K05fixed x_f · uncertain T→K06uncertain x_f · fixed T
Für einfache Gaußmodelle wirkt der relative Fehler formal ähnlich. Systemisch ist die Ursache aber verschieden: K05 modelliert Referenzunsicherheit, K06 Zustands-/Trajektorienunsicherheit. Diese Trennung wird für spätere Informations- und Zeitfenster relevant.
Interactive lab
Propagiere Mittelwert und Kovarianz
Variiere initialen Mittelwert, Streuungen, Korrelation, normierten Horizont λ und die Akzeptanzskala κ. Das Lab zeigt das wachsende Unsicherheitsband, die terminale 95%-Ellipse und die numerisch integrierte Set-Überlappung.
±2σy tubemean state95% terminal regionacceptance set
Interpretation
Richtungsstreuung wird mit dem Horizont zu Positionsstreuung.
Die lineare Kopplung erzeugt terminale Korrelation, selbst wenn die initialen Komponenten unkorreliert sind. Das ist ein Effekt der Zustandspropagation, nicht einer zusätzlichen Zufallsquelle.
Systemische Konsequenz
Unsicherheit ist dynamisch: dieselbe Anfangsverteilung kann später anders aussehen.
Geometrisches Wachstum
Richtungsunsicherheit wirkt über den Horizont auf die laterale Zustandsunsicherheit. Ein längerer normierter Horizont vergrößert deshalb im Modell typischerweise σy, auch ohne zusätzliche Prozessstörung.
Korrelation entsteht
Weil der terminale Positionsfehler die Richtungsabweichung enthält, werden Yf und Ψf gekoppelt. Die Ellipse dreht sich und die Set-Überlappung ist nicht mehr durch zwei unabhängige Achsenprodukte beschrieben.
Nächster Schritt
K07 trennt anschließend die Geometrie vom verfügbaren Zeitfenster: Aus Zustands- und Entfernungsrelationen wird eine abstrakte Time-to-go-Größe, die später mit Information verknüpft werden kann.
initial distribution→state transition→terminal covariance∩acceptance set