Remaining-path kinematics

Time-
to-go

K06 propagierte eine Zukunftsmenge bis zu einem terminalen Zustand. K07 ergänzt die fehlende Zeitachse: Aus verbleibender normierter Weglänge und positiver normierter Geschwindigkeit entsteht τ=t_go. Zusätzlich führt K07 eine bewusst abstrakte erforderliche Restzeit τreq ein. Damit kann später der Trade-off „bessere Prädiktion, aber weniger Reaktionszeit“ formalisiert werden.

dimensionslosτ = ℓ / vfirst-order uncertaintykeine Guidance-Logik

Schematische Restweglänge mit Time-to-go-Schätzung, lokalem Unsicherheitsintervall und separater normierter Mindestrestzeit τreq.

Lernziel

Zeit ist eine abgeleitete Zustandsgröße.

Im einfachsten lokalen Modell ist die verbleibende Zeit keine unabhängige Eingabe. Für verbleibende normierte Weglänge ℓ>0 und normierte Geschwindigkeit v>0 gilt τ=ℓ/v. Der Quotient macht sichtbar, dass dieselbe Reststrecke bei höherer Geschwindigkeit weniger Zeit repräsentiert.

Zentrale Relation

τ = ℓ / v

τ ist ein dimensionsloses Time-to-go. Das Modell beschreibt weder reale Reichweiten noch konkrete Flugzeiten oder Leistungsdaten.

Lokale Sensitivität

∂τ/∂ℓ = 1/v · ∂τ/∂v = −ℓ/v²

Restweg und Geschwindigkeit wirken unterschiedlich: Die Weglängen-Sensitivität skaliert mit 1/v, die Geschwindigkeits-Sensitivität zusätzlich mit ℓ/v².

Zeitbedingung

τ > τreq

τreq ist keine reale Reaktions- oder Systemzeit, sondern eine normierte didaktische Mindestrestzeit. Sie macht sichtbar, dass gute Prädiktion allein nicht genügt, wenn der verfügbare Zeithorizont bereits zu klein ist.

K06 → K07

Zum Zukunftsset kommt eine schrumpfende Restzeit.

K06𝓡A(t)+K07τ=tgo, τreq

K07 löst kein reales Abfang- oder Steuerungsproblem. τreq ist lediglich ein dimensionsloser Vergleichshorizont. K08 kombiniert ihn anschließend mit der Informationsschwelle, sodass ein echtes „zu unsicher → nutzbar → zu spät“-Fenster entsteht.

Interactive lab

Time-to-go und lokale Unsicherheit

Variiere Restweg ℓ, Geschwindigkeit v, deren Standardabweichungen und Korrelation. Das Lab zeigt die Quotientenrelation, einen lokalen 95%-Bereich und die beiden Sensitivitäten.

Time-to-go relationτ(ℓ)=ℓ/v at fixed v

Local time distributionfirst-order Gaussian approximation

τ relationlocal uncertainty band≈95% interval

Time-to-go—τ = ℓ/v

Local στ—sqrt(JΣJᵀ)

≈95% interval—unclipped local τ ± 1.96στ

Relative uncertainty—στ/τ

Path sensitivity—|∂τ/∂ℓ|

Speed sensitivity—|∂τ/∂v|

Required time—τreq

Nominal time margin—τ−τreq

Interpretation

Time-to-go ist eine Quotientenrelation.

Die Unsicherheit der Eingangsgrößen wird lokal auf die Zeitgröße abgebildet. Korrelation kann die resultierende Varianz dabei erhöhen oder senken.

Systemische Konsequenz

Eine Zustandsunsicherheit wird erst durch die Zeitabbildung zu einer Zeitunsicherheit.

Nichtlinearität

Die Abbildung τ=ℓ/v ist in v nichtlinear. Deshalb ist die lineare Unsicherheitsfortpflanzung nur lokal belastbar; bei großer relativer Geschwindigkeitsunsicherheit wird die Approximation sichtbar schwächer.

Korrelation zählt

Wenn Restweg- und Geschwindigkeitsfehler gekoppelt sind, enthält σ²τ einen Kreuzterm. Zwei identische Randstreuungen können daher verschiedene Time-to-go-Streuungen erzeugen.

Nächster Schritt

K08 verlangt gleichzeitig hinreichende Information und τ>τreq. Dadurch entsteht aus zwei getrennten Bedingungen ein nutzbares Fenster, ohne eine reale Einsatzentscheidung zu modellieren.

remaining path ℓ÷speed v→τ=tgocompareτreq