Omnidirectional kinetics under gravity

Schubvektor
statt Bank-to-turn

M00 setzt den Gegenpol zu M03: minimale Geschwindigkeit kann null sein, die momentane Richtungsfreiheit ist groß und der aktuelle Geschwindigkeitsvektor schränkt den zukünftigen Zielraum kinematisch nur schwach ein. Das Lehrmodell trennt dabei feste Zeit, räumliche Projektion und Energie explizit.

normalizedx¨ = u − g e_z||u|| ≤ a_maxv_min = 0no bank-to-turn

Unbeschränkte und richtungsbeschränkte Multicopter-Reachability unter Gravitation.

Canonical primitive

Gravitation verschiebt das Fixed-time Set; die Kontrollmenge bestimmt seine Form.

Für die kugelförmige Kontrollmenge ist die räumliche Position nach Δt eine verschobene Kugel. Erst eine zusätzliche Richtungsbeschränkung erzeugt Anisotropie. Die globale Untergrenze von u_z bleibt bei 0, wenn der Schubbetrag bis 0 reichen darf; a_max cos θ_max ist die Vollschub-Aussage.

Dynamik

ẍ = u(t) − g e_z

Der Schubvektor ist die Steuerprimitive; der Bank-to-turn-Mechanismus der Fixed-Wing-Regime entfällt.

Fixed-time projection

π_xyz(ℛ_A) = B(c, ½a_maxΔt²)

c=x+vΔt−½gΔt²e_z. Unter isotroper Authority deformiert Gravitation den Ball nicht.

Hover

a_max ≥ g

Bei zusätzlicher Tilt-Grenze gilt für höhenerhaltende horizontale Authority min(√(a_max²−g²), g tan θ_max).

Power

P=P_hover+k₁||u||+k₂||u||³

P_hover>0: Hover und Loiter verbrauchen Energie kontinuierlich.

Interactive lab

Fixed-time Reachability, Tilt-Limit und Energie

Alle Größen sind dimensionslos. Das Lab visualisiert entweder die isotrope, gravitativ verschobene Positionserreichbarkeit oder eine gesampelte richtungsbegrenzte Kontrollmenge. Die Weltachsen verwenden denselben Maßstab, damit ein Ball nicht als Ellipse erscheint.

πxyz(ℛA(t+Δt|x_t))equal x/z scale

Control-space comparisonM00 ↔ M03

M00v_min = 0R_min ≈ 0instantaneous direction freedom ↑spatial expansion / s ↓

M03v_min > 0R_min largeinstantaneous direction freedom ↓spatial expansion / s ↑

Kinematic target-collapse proxy

weak: heading contributes little target restriction

Hover condition—a_max ≥ g

Ball radius—½a_maxΔt²

Gravity shift—½gΔt² downward

Altitude-hold a_xy,max—with active tilt bound

Normalized power—P_hover + k₁a + k₂a³

u_z,min—global / full-thrust distinction

Interpretation

Omnidirectional authority decouples future direction from current velocity.

Heading remains a state variable, but not a bank-to-turn constraint. Fixed-time reachability and energy still bound the future set.

Topology lens

Das Vergleichsregime ist ein Punkt im selben Kontroll-/Energieraum.

M00 isotropic / slow→M01 passive BRV → bounded ABV→M02 directed + loiter→M2.5 energy-limited glide→M03 fast directed tube